Théorie

FRISE = TRANSLATION mais l'intérêt de la frise ne réside-t-il que dans la reproduction d'un motif ? Je ne le pense pas. Ce qui est le plus intéressant à mon sens est la construction d'un motif, que l'on répétera à la fin.

Si on part des opérations géométriques de base que sont la translation, la symétrie centrale, et la symétrie axiale (verticale et horizontale), on peut dire qu'il y a sept types de frises.

(Par convention, nous parlerons du vecteur u, comme vecteur de direction gauche droite, parallèle à l'axe de la frise, et de longueur égale à la distance entre deux traits pointillés, comme représenté sur la figure 1.)

1° type

On ajoute à la figure ses transformées par des translations successives de vecteur u.

2° type

On ajoute à la figure sa transformée par la symétrie centrale de centre O puis on adjoint à l'ensemble ses transformé s par des translations successives de vecteur 2u.

3° type

On ajoute à la figure sa transformée par la symétrie par rapport à la droite D, puis on adjoint à l'ensemble ses transformés par des translations successives de vecteur u.

4° type

On adjoint à la figure sa transformée par la symétrie par rapport à la droite D puis on adjoint à l'ensemble ses transformés par des translations successives de vecteur u.

5° type

On adjoint à la figure sa transformée par [symétrie axiale d'axe D et de vecteur u] puis on ajoute à l'ensemble ses transformés par des translations successives de vecteur 2u.

6° type

On adjoint à la figure sa transformée par la symétrie d'axe D puis on adjoint à l'ensemble son transformé par rapport à D'. On ajoute ensuite à l'ensemble obtenu ses transformés par des translations successives de vecteur 2u.

7° type

On adjoint à la figure sa transformée par la symétrie centrale de centre O puis on adjoint à l'ensemble son transformé par la symétrie d'axe D. On adjoint ensuite à l'ensemble obtenu ses transformés par des translations successives de vecteur 4u.

Le type le plus répandu dans les manuels scolaires est le type 1 (translation simple). Les 6 autres types construisent un motif par d'autres opérations et effectuent une série de translation à la fin. On peut donc faire compléter les sept types de frises à tous les niveaux, mais pas les faire construire à tous les élèves. Les seules opérations abordables au cycle 2 (d'après les programmes, mais à chacun de voir...) sont la translation et la symétrie axiale, ce qui réduit la construction de la frise aux modèles 1, 3, 4, 6. Le type 5 est également abordable au cycle 2, mais il est plus complexe car il suppose une étape intermédiaire qui n'est pas dessinée sur le « produit final ». Les frises 2 et 7, qui comportent une symétrie centrale, seront sans doute plus facile à construire au cycle 3.

Travaux pratiques

Les frises que l'on peut proposer aux élèves sont le plus souvent basées sur des quadrillages orthonormés, ou des canevas.

Les motifs sont composés, soit de polygones complexes à base de carrés (un carreau = un carré), soit de polygones complexes dont les sommets reposent sur les noeuds du quadrillage. Voici donc quelques exemples, qui pourront être proposés sur support, ou à reproduire d'après modèle.

Les motifs peuvent être apparents de prime abord, ou apparaître lorsqu'on complète la frise.

On peut également travailler sur des tracés de lignes, passant par les noeuds du quadrillage. En parallèle, on peut aussi étudier les motifs celtes, et proposer ainsi aux élèves un projet (d'exposition), un travail thématique ou tout simplement, une activité de détente mêlant géométrie, arts plastiques, histoire et élargissement des références culturelles.

Sur cette page, je propose une démarche pour réaliser des motifs de noeuds celtes tels que celui qui figure ci-dessous.

Vous trouverez, ci-liés, un fichier à imprimer (au format .pdf, lisible et imprimable par tous avec Acrobat Reader) contenant un exemple à compléter de chaque type de frise + des modèles vierges en couleur et les mêmes en N&B, mais aussi, pour ceux qui désirent créer d'autres motifs et peut-être les partager, un fichier StarDraw (.sda, lisible par la suite bureautique GRATUITE OpenOffice.org pour Windows et Linux - en développement pour MacOS-X) qui a servi de base aux documents pdf, et qui peut être modifié à volonté.